話を進める前に基本となる法則、ケプラーの法則について簡単にまとめてみたいと思います。
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ケプラーの法則は三つあります。
・第1法則
惑星は太陽を焦点の一つとして楕円軌道を描く。
・第2法則
惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間に描く面積は一定。
・第3法則
惑星の公転周期の二乗は軌道長半径の三乗に比例する。
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第1法則はまずは置いておいて、第２、第3法則をみていきたいと思います。
［第２法則］
力の源（太陽）と質点（惑星）とを結ぶ直線に沿って働く、距離の関数として表される「力」を中心力と言います。
中心力の周りの角運動量が保存されることを示しています。（図2参照）
Lはその方向や向きを含めて一定なので、質点は図2のようにOを通りLに垂直な平面内で運動を続けることになります。
このとき、質点の位置ベクトルrがこの平面内で時間dtに掃く面積は、
((式1))
従って単位時間あたりは
((式2))
となります。((dr/dt)/dt = P/mから)
dS/dtは面積速度といいます。
これから、
((式3))
となるので、ケプラーの第２法則は定数hを用いて
((式4))
となります。
［第3法則］
図1から、惑星の質量をm、それに働く太陽の
引力をF(r)とすれば、惑星の運動方程式のr成分は（惑星がrの動径方向と回転方向の両方に時間依存するとしたら、）
((式5))
扱いを簡単にするために軌道は円運動としてrは一定と考えます。
ここで仮に引力F(r)のr依存関係を
((式6))
この式を式5に代入してみます。
すると、
((式7))
が得られます。
ここで、第3法則、公転周期Tと軌道半径rとの間に成り立つ法則を考えていきます。
T^2 = r^3
第２法則で得た式4より、
((式8))
従って、
((式9))
とかけるので、
((式10))
となります。
［第1法則］
さて、第1法則です。
第3法則で出てきた式5ですが、式4を代入して整理すると、
((式11))
のように、rのみの方程式が得られます。
ここから、式4を用いてrのtによる微分をφによる微分に置き換えてみます。
((式12))
これを、式11に代入します。
((式13))
この方程式をφでゴリゴリ解くのは難しそうなので、
((式14))
と置いて解いてみます。カッコ内は以下のようになります。
((式15))
するとなんとなく見慣れた形になります。（線形非斉次方程式）
((式16))
一般解は次のようになります。
u = 1/r = A cos(φ + α) + 1/l
これを整理していくと最終的に以下の軌道の方程式が得られます。
((式17))
第1法則です。
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ケプラーの法則の復習でした。
